John Michell y la desaceleración de la luz

Gustavo Magallanes-Guijón Doctor en Astrofísica por Instituto de Astronomía de la Universidad Nacional Autónoma de México

¿Podría una estrella atrapar toda su luz? Esta pregunta fue formulada por el polímata inglés John Michell en 1784 en una carta que envió a su amigo y colega Henry Cavendish.

Todo empezó cuando el clérigo planteó un método para estimar las distancias, tamaños y masas de las estrellas observando posibles variaciones en la velocidad de su luz. Analizó cómo la gravedad de una estrella afecta la velocidad de las partículas luminosas que emite llegando a la conclusión de la posibilidad de que la luz podría caer en la misma estrella.

John Michell era un científico experimental, profesor de Cambridge, geólogo, astrónomo, y físico experimental por lo que estaba convencido de que estudiar la naturaleza equivalía a estudiar la obra de Dios y de que el universo era concebido como un sistema racional, ordenado y diseñado.

Siendo sacerdote y científico y en relación con otro notable físico de su época Henry Cavendish, Michell se planteó la pregunta: ¿podemos determinar la distancia, el tamaño y otras propiedades de las estrellas a partir del comportamiento de la luz que llega hasta nosotros?

Apoyándose en la teoría corpuscular de Newton, pensó que, si la luz está sometida a la gravedad igual que cualquier otro cuerpo material, una estrella suficientemente masiva debería reducir la velocidad de la luz que escapa de su superficie. Imaginemos por ejemplo que lanzamos una pelota hacia arriba, la pelota subirá un poco y luego caerá. Si la lanzamos con más fuerza, alcanzará una mayor altura pero siendo la fuerza de gravedad mayor que la fuerza con la que la lanzamos caerá. Pero si pudiéramos lanzarla tan rápido que escapara completamente de la gravedad de la Tierra y no regresara estaría venciendo la llamada velocidad de escape.

John Michell aplicó este concepto a la luz. Se preguntó qué ocurriría si una estrella fuera tan masiva que la velocidad necesaria para escapar de su gravedad fuera mayor que la velocidad de la propia luz. En ese caso, la luz actuaría como una pelota que no logra escapar: intentaría salir de la Tierra, pero sería retenida por la gravedad. Como resultado, la estrella sería invisible para observadores lejanos, aunque continuaría existiendo.

Figura 1. John Michell (1724–1793).

La carta

Publicado en 24 páginas e incluyendo un diagrama, expone a lo largo de 39 puntos cómo la atracción gravitacional incide en el comportamiento de los cuerpos celestes y en la velocidad de la luz.

Figura 3. Primera página del artículo publicado en Philosophical Transactions (1784).

Así, en 1784, en su artículo publicado bajo el título

On the Means of Discovering the Distance, Magnitude, &c. of the Fixed Stars, in Consequence of the Diminution of the Velocity of Their Light, in Case Such a Diminution Should be Found to Take Place in any of Them, and Such Other Data Should be Procured from Observations, as Would be Farther Necessary for That Purpose. By the Rev. John Michell, B. D. F. R. S. In a Letter to Henry Cavendish, Esq. F. R. S. and A. S.,

el astrónomo especuló sobre la atracción de la luz por la gravedad, proponiendo una salida fundamental de lo que años después trabajaría Karl Schwarzschild para llegar a su famoso radio.

John Michell comienza su exposición señalando que le parece plausible que los sistemas estelares puedan ser afectados sensiblemente por su gravitación mutua y que, en el caso de sistemas binarios, los periodos siderales de las estrellas podrían ser calculados.

“La gran cantidad de estrellas que se ha descubierto que son dobles, triples, etc., particularmente por el Sr. Herschel, si juzgamos a partir de la doctrina de las probabilidades, difícilmente nos deja lugar a dudas de que la mayor parte de ellas, si no todas, son sistemas de estrellas situadas tan cerca unas de otras que se ven afectadas considerablemente por su gravitación mutua…” (P. 35)

En esta introducción Michell presenta los rasgos fundamentales para el desarrollo de su trabajo, pues la inferencia de las estrellas oscuras será a partir del efecto a distancia hacia los cuerpos pequeños en torno al objeto principal.

No hay que dejar pasar por desapercibido cómo en todo el artículo John Michell va puntualizando de manera muy ordenada y esquematizada toda una maquinaria lógico-deductiva que lleva de la mano al lector hacia la comprensión cabal de su idea.

John Michell, quien fue rector de la universidad Thornhill en Yorkshire, ya en 1783 especulaba sobre la atracción gravitacional sobre la luz. Sin embargo, fue hasta el siguiente año que la misiva llegó a manos de su amigo y colega Henry Cavendish, por lo que fue en 1784 cuando tuvo la oportunidad de exponer su trabajo con mucho más detalle en la prestigiosa revista Philosophical Transactions de la Royal Society.

En esa carta a Cavendish, Michell le comunicó brevemente su idea, describiéndole la posibilidad de que la velocidad de la luz pueda disminuir en presencia de un objeto compacto y denso.

Figura 2. Carta de John Michell a Henry Cavendish (1784).

Michell argumentó que, si la luz está sometida a la gravedad igual que cualquier otro cuerpo material, una estrella suficientemente masiva debería reducir la velocidad de la luz que escapa de su superficie. A partir de esta idea desarrolla cálculos que relacionan masa, densidad y tamaño estelar con la velocidad de la luz.

“Si el semidiámetro de una esfera de la misma densidad que el sol excediera al del sol en la proporción de 500 a 1… toda la luz emitida por tal cuerpo sería obligada a regresar hacia él, por su propia gravedad” (P.42)

Es decir, si asumimos que alguna la estrella tiene la misma densidad que el Sol ($\rho_{\odot}$). Y dicha estrella con esa densidad tuviera un radio 500 veces mayor que el del Sol ($500 R_{\odot}$), su gravedad sería tan fuerte que la luz perdería toda su velocidad al intentar escapar. En términos modernos, su velocidad de escape sería igual a la velocidad de la luz ($V_{esc} = c$).

Así Michell al proponer la existencia de estrellas cuya gravedad impediría escapar a la luz introdujo una idea que hoy reconocemos como un antecedente conceptual de los agujeros negros.

Agujeros negros

Las ideas de Michell fueron revolucionarias para su tiempo, pues estaba dando un giro conceptual a lo que siglos después llegarían los físicos John Archibald Wheeler, Karl Schwarzschild, Subrahmanyan Chandrasekhar y Albert Einstein, entre otros.

Figura 4. Esquema conceptual de la gravitación y la luz.

Michell logra identificar a la fuerza gravitacional como aquella que logra desviar las trayectorias de la luz misma.

Recordemos que estamos en 1784 y que la Ley de Gravitación Universal de Newton está muy presente en las academias y que aún dista mucho tiempo para tener una Teoría General de la Relatividad.

Figura 5. Desarrollo matemático de la velocidad de escape.

Así a lo largo de la descripción que sigue en el artículo, el astrónomo británico muestra que la velocidad de escape para el caso del Sol sería de 497 veces menor que la velocidad de la luz.

Figura 6. Inferencia de objetos invisibles mediante efectos gravitacionales.

Aunado a lo anterior, Michell da paso para calcular la distancia máxima necesaria para poder distinguir un objeto como el Sol, con su misma densidad, pero 500 veces más grande en diámetro.

“Por lo tanto, la mayor distancia a la que sería posible distinguir…”

La exposición que se va desarrollando de manera deductiva —la velocidad de escape, la longitud del semidiámetro de la estrella y la deflexión de la luz— va sugiriendo la inferencia de la existencia de un objeto estelar cuya radiación sería atrapada por su propio campo gravitacional.

“Si realmente existiera en la naturaleza algún cuerpo…”

Figura 7. Diagrama original utilizado por Michell en su artículo.

No queda duda de que las aportaciones intelectuales de John Michell fueron visionarias. Sugirió ideas que se desarrollaron más de cien años después y que han cambiado nuestra visión del universo.

La propia idea de agujero negro tiene su origen en los experimentos mentales de este destacado astrónomo. Pero no sólo la rapidez de escape para magnitudes cercanas a la velocidad de la luz, sino también el radio de Schwarzschild, la deflexión de la luz, los lentes gravitacionales e incluso la propia Teoría General de la Relatividad encuentran antecedentes conceptuales en sus planteamientos.

Finalmente vale la pena subrayar que las palabras, su enunciación, cómo nos relacionan con el mundo y cómo generamos conceptos simples y abstractos, construyen nuestra cultura. La palabra agujero negro es, sin duda, una palabra ya incorporada al vocabulario universal, y cuya génesis en la noción de estrella oscura constituye una parte esencial de su historia.

Referencias

1. Michell, J. On the means of discovering the distance, magnitude, &c. of the fixed stars… Philosophical Transactions, XXIV (1784), pp. 35–57.
2. Schaffer, S. (1979). John Michell and Black Holes. Journal for the History of Astronomy, 10, p. 42.
3. Michell, op. cit., p. 42.
4. Michell, op. cit., p. 42.
5. Michell, op. cit., p. 50.
6. Michell, op. cit., p. 50.

Bibliografía

• Michell, J. (1784). On the means of discovering the distance, magnitude, &c. of the fixed stars… Philosophical Transactions.
• Penrose, Roger (2005). The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe. New York: A. A. Knopf.
• Schaffer, S. (1979). John Michell and Black Holes. Journal for the History of Astronomy, 10.

Recursos en línea

• Mills, V. (2019). Black holes: who didn’t see them first. Royal Society Blog.

Anexo 1

Diagrama utilizado por Michell en su artículo para explicar sus ideas en torno a la gravitación de los cuerpos y la luz.

Anexo 2

La propuesta de Michell puede reconstruirse mediante el siguiente cálculo. En su artículo, planteó que, si el semidiámetro de una esfera con la misma densidad que el Sol fuera 500 veces mayor que el solar, toda la luz emitida por ese cuerpo regresaría hacia él debido a su propia gravedad.

Supongamos que una estrella tiene la misma densidad que el Sol, \(\rho_{\odot}\), y un radio 500 veces mayor:

En el razonamiento de Michell, la gravedad de una estrella suficientemente grande podría impedir que la luz escapara de su superficie. En términos modernos, esto correspondería a una velocidad de escape igual a la velocidad de la luz:

Podemos explorar el razonamiento mediante la relación aproximada entre la velocidad de la luz que llega a un observador, \(v_{\mathrm{obs}}\), y la velocidad de escape, \(V_{\mathrm{esc}}\):

donde:

• \(c\) es la velocidad de la luz.
• \(V_{\mathrm{esc}}\) es la velocidad de escape de la estrella.

Supongamos, por ejemplo, que la velocidad observada de la luz disminuyera un 10 %, de modo que:

Sustituyendo este valor en la relación anterior, obtenemos:

Al desarrollar el cuadrado:

Despejando la velocidad de escape:

Por tanto:

Para estrellas de igual densidad, la velocidad de escape es proporcional al radio, ya que \(V_{\mathrm{esc}} \propto R\). Si una estrella de radio \(500R_{\odot}\) tuviera una velocidad de escape igual a \(c\), la estrella cuya velocidad de escape fuera \(0.43589c\) tendría un radio de:

Sustituyendo el valor calculado:

Por tanto, bajo estas hipótesis, el radio de la estrella sería aproximadamente 218 veces el radio solar.

Finalmente, si la densidad se mantiene constante, la masa es proporcional al cubo del radio. Así, la masa de la estrella sería: